Решение:

Пусть точка касания касательной с окружностью обозначается как B.

Так как от точки A до ближайшей точки окружности проведена перпендикуляр, то треугольник ΔAOB - прямоугольный.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике:

AB² + AO² = OB²

Так как AB = 4√2 и AO = 7 (радиус окружности), подставляем данные и получаем:

(4√2)² + 7² = OB²
32 + 49 = OB²
81 = OB²

Следовательно, OB = √81 = 9.

Таким образом, расстояние от точки A до ближайшей точки окружности равно 9.