Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то углы BAC и BCA равны между собой.

Так как ACB - внешний угол треугольника ABC, то он равен сумме внутренних углов BAC и BCA. Обозначим угол BAC и BCA за x.

Имеем уравнение: x + x + угол ACB = 180 градусов.

2x + угол ACB = 180.

Так как угол ACB - это внешний угол треугольника ABC, то по теореме косинусов:

cos(угол ACB) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 AC BC),

где:
AC = 4,
BC = 2√10.

Таким образом, получаем:

cos(угол ACB) = (4^2 + (2√10)^2 - 4^2) / (2 4 2√10),
cos(угол ACB) = (16 + 40 - 16) / (8√10),
cos(угол ACB) = 40 / (8√10),
cos(угол ACB) = 5 / √10 = √10 / 2.

Из известного тригонометрического тождества tan^2(x) + 1 = sec^2(x) следует:

tan^2(угол ACB) + 1 = sec^2(угол ACB),
tan^2(угол ACB) + 1 = (1 / cos^2(угол ACB)),
tan^2(угол ACB) + 1 = (1 / (√10 / 2)^2),
tan^2(угол ACB) + 1 = (1 / 10 / 4),
tan^2(угол ACB) + 1 = 4 / 10,
tan^2(угол ACB) + 1 = 2 / 5.

Отсюда, tan^2(угол ACB) = 2/5 - 1 = 3/5,

tan(угол ACB) = √(3 / 5).