Из условия задачи мы можем найти, что треугольник OCM является равносторонним, так как угол MCN равен 60 градусов. Это значит, что углы OCM, OMC и CMN равны между собой и каждый из них равен 60 градусов.

Так как треугольник OCM равносторонний, то длина отрезка OC равна CM, то есть OC = 12.

Так как угол OCM равен 60 градусов, то угол OCN равен 30 градусов (так как OC = ON), что делает треугольник OCN равнобедренным.

Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения радиуса окружности O. Для этого возьмем прямоугольный треугольник ONC, где у нас известно, что угол NCO равен 30 градусов, сторона OC равна 12 и сторона ON равна r (радиус окружности). Мы можем использовать функцию синуса, так как у нас известно значение одного угла и длины двух сторон:

sin(30) = r / ON
sin(30) = r / 12
r = 12 * sin(30)
r ≈ 6

Таким образом, радиус окружности равен примерно 6.