Пусть длина катета AC равна a. Так как отрезок AC разбит на три равные части точками D и E, то AD = DE = EC = a/3.

Так как площадь треугольника BDE равна 3, то её можно найти как половину произведения катетов AB и DE:
S(BDE) = 1/2 AB DE = 3
AB * a/3 = 6
AB = 18/a

Треугольник ABF можно разбить на два треугольника: ABC и ACF.
Так как F – середина отрезка BC, то BF = FC = a/2.

Площадь треугольника ABC равна 1/2 AB AC = 1/2 18/a a = 9
Площадь треугольника ACF равна 1/2 AC CF = 1/2 a a/2 = a^2/4

Таким образом, площадь треугольника ABF равна сумме площадей треугольников ABC и ACF:
S(ABF) = S(ABC) + S(ACF) = 9 + a^2/4

Ответ: S(ABF) = 9 + a^2/4.