Если из данной точки проведен перпендикуляр к данной прямой, то этот перпендикуляр единственный.

Доказательство:

Предположим, что существует другой перпендикуляр, проведенный из данной точки к данной прямой. Пусть эти два перпендикуляра пересекаются в точке М.

Рассмотрим треугольники ΔANO и ΔMNO. У них угол ANO = MNO (по построению), угол OAN = ONM (так как они перпендикуляры), и OA = OM (по построению). Значит, треугольники ΔANO и ΔMNO равны по двум сторонам и углу, следовательно, они равны и по третьей стороне, то есть AM = AN.

Но это противоречит предположению, что точки М и N различны. Значит, перпендикуляр к данной прямой из данной точки единственный.