Областью определения будет множество всех x, для которых исходное выражение внутри корня неотрицательно (т.е. неотрицательное число под корнем):

-3х^2 - 2x + 8 >= 0

Для начала найдем корни квадратного уравнения -3х^2 - 2x + 8 = 0:

D = (-2)^2 - 4(-3)8 = 4 + 96 = 100

x = (-(-2) ± √100) / (2*(-3)) = (2 ± 10) / (-6)
x1 = 8/(-6) = -4/3
x2 = 12/(-6) = -2

Теперь построим знаки функции:

-4/3 -2
|-----------|---------------|
- 0 + + 0 - +
|-----------|---------------|
<.-----.---->.<-------------->

Отсюда видно, что выражение под корнем неотрицательно на интервалах x<=-4/3 и -2<=x.

Таким образом, областью определения будет x ∈ (-∞, -4/3] U [-2, +∞).

Если необходимо сократить выражение, то стоит отметить, что сделать это можно только на интервале (-2, +∞).