Коротко — почему именно через дефис и когда другой вариант.

Что пишется через дефис
Через дефис пишутся наречия, образованные с префиксом по- со значением «так, каким образом», по двум типичным моделям:
по- + дательная форма (окончания -ому / -ему) от прилагательного или местоимения: по-новому, по-старому, по-нашему, по-твоему, по-моему, по-видимому;по- + основа прилагательного с суффиксом -ск- / -цк-: по-русски, по-немецки, по-дружески, по-армянски.

Эти формы выражают образ действия: «сделано по-нашему» = «сделано по нашему (образу/манере)».

Что пишется раздельно
Раздельно пишется предлог по + существительное/местоимение в дательном падеже, когда это не цельное наречие, а предлогальное сочетание:
по плану, по инструкции, по нашему мнению, по его просьбе.
В таких случаях «по» — предлог, за ним следует существительное (или местоимение) и, возможно, дополнительные слова.

Различие: «сделано по-нашему» (наречие, через дефис) ≠ «сделано по нашему плану» (по + существительное — раздельно).

Когда возможны иные варианты

Иногда тот же смысл можно выразить и наречием с дефисом, и другой конструкцией без дефиса, но с немного другим контекстом: «Мы поступили по-нашему» (наш способ) ≈ «Мы поступили по нашему плану» (в соответствии с планом) — обе допустимы, но грамматически разные конструкции.Слова с префиксом по-, образующиеся не по данным моделям, пишутся слитно: попозже, повсюду, попросту, поперёк — это другие словообразовательные типы (не наречия «по-…-ому/ски»), их нельзя переводить на правило с дефисом.

Практический тест
Если можно задать вопрос «как?» и ответ будет однословным «по-…», и если форма совпадает с по- + дательный/… или по- + -ски, то ставьте дефис. Если «по» управляет существительным (по чему?) — раздельно.

Примеры

по-русски (как?) — дефис;по-нашему (как?) — дефис;по нашему мнению (по чему?) — раздельно;по плану (по чему?) — раздельно;попозже (время) — слитно (другая модель).

Если нужно, могу разобрать конкретные примеры или спорные случаи.