Кратко: запятая нужна. Оборот «улыбаясь» — деепричастие (или деепричастный оборот) и отделяется запятой в любом положении.
Развернуто, но сжато:
- Норма: «Улыбаясь, она читала письмо.» — запятая после «улыбаясь» обязательна. То же: «Она читала письмо, улыбаясь.» — запятая перед «улыбаясь» тоже обязательна.
- Перестановка возможна: начальная позиция («Улыбаясь, она…») дает фону/обстоятельству более выраженное предшествующее или вводное значение; конечная позиция («Она…, улыбаясь») делает действие сопровождающим, может звучать как добавочное уточнение или следствие настроения.
- Вставная позиция с обособлением с двух сторон: «Она, улыбаясь, читала письмо.» — более эмоционально или подчеркнуто, улыбка воспринимается как примечание.
- Важно согласование подлежащего: деепричастие должно относиться к тому же лицу/подлежащему. Неправильно: «Улыбаясь, письмо лежало на столе.» (висячее деепричастие).
Смысловые нюансы:
- Оба варианта передают одновременность действий, но с разной фокусировкой: начальный вариант делает улыбку фоном, конечный — акцентирует сам факт чтения, улыбка как сопутствующее.
- В контексте конечный вариант иногда воспринимается как более мягкое пояснение или как следствие увиденного в письме; начальный — как предрасположенность/настроение до или во время чтения.
Вывод: запятая обязательна; переставлять можно, меняется лишь стилистический и акцентный оттенок; следите за тем, чтобы субъект деепричастия совпадал с подлежащим.